关于2023年新高考一卷数学第21题的相关讨论

本文主要就 2023 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标 I 卷)数学第 21 题中涉及到的概率论中 Markov 链相关知识展开讨论, 剖析相似题型的统一解题路径.

原题

甲, 乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 $0.6$, 乙每次投篮的命中率均为 $0.8$, 由抽签决定第 $1$ 次投篮的人选, 第 $1$ 次投篮的人是甲, 乙的概率各为 $0.5$.

(1) 求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率;

(2) 求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率;

(3) 已知: 若随机变量 $X_i$ 服从两点分布, 且 $P(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i$,$i=1,2,\cdots,n$, 则 $E(\sum_{i=1}^n{X_i})=\sum_{i=1}^n{q_i}$. 记前 $n$ 次(即从第 $1$ 次到第 $n$ 次投篮)中甲投篮的次数为 $Y$, 求 $E(Y)$.

答案

(1)$0.6$;(2)$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times(\frac{2}{5})^{i-1},i\in\mathbb{N^*}$;(3)$\frac{6n+5}{18}-\frac{1}{9}\times(\frac{2}{5})^{n-1}$.

解析

第 (1) 问

第 (1) 问较为简单, 主要考察全概率公式.

令甲投中的事件为 $A$, 乙投中的事件为 $B$, 甲第 $i$ 次投篮的事件为 $M_i$. 那么甲没投中的事件即为 $\overline{A}$, 乙没投中的事件即为 $\overline{B}$, 乙第 $i$ 次投篮的事件为 $\overline{M_i}$.

由题可知, $P(A)=0.6$, $P(\overline{A})=0.4$, $P(B)=0.8$, $P(\overline{B})=0.2$, $P(M_1)=P(\overline{M_1})=0.5$.

因此 $P(\overline{M_2})=P(M_1)P(\overline{A})+P(\overline{M_1})P(B)=0.6$.

第 (2) 问

第 (2) 问本质上是概率论中涉及到的 Markov 链的考察, 解决此类题目的关键是只专注于可能使“第 $i$ 次是甲投篮”的一步到位的情况, 而不要过多考虑, 避免把自己绕进逻辑循环当中.

将 $P(M_i)$ 简记为 $P_i$, 我们可以得到:

• $P_1=0.5$,
• $P_i=P_{i-1}P(A)+(1-P_{i-1})P(\overline{B}),i\geq2,i\in\mathbb{N^*}$.

列出后式的意义是, 若第 $i$ 次是投篮的人是甲, 则要么第 $(i-1)$ 次投篮的人是甲且甲投中, 要么第 $(i-1)$ 次投篮的人是乙且乙没投中. 随后根据全概率公式列出递推公式.

由数列相关知识, 可以求得 $P_i=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times(\frac{2}{5})^{i-1},i\geq2,i\in\mathbb{N^*}$. 代入 $i=1$ 时 $P_1$ 也符合此公式, 故第 $i$ 次投篮的人是甲的概率 $P_i=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times(\frac{2}{5})^{i-1},i\in\mathbb{N^*}$.

综上所述, 在梳理题目条件时, 我们更需要关注并找出项与项之间存在的递推关系, 从而运用高中课纲内的数列求和等知识解题.

第 (3) 问

第 (3) 问是新概念的化用, 主要考察 $E(Y)=\sum_{i=1}^n{P_i}$, 随后由数列相关知识化简得 $E(Y)=\frac{6n+5}{18}-\frac{1}{9}\times(\frac{2}{5})^{n-1}$.

只需要使用最基础的等比数列求和即可, 难度适中.

拓展

Markov 链可以用来研究试验在不同状态间变化时的某些概率,其特征可以简单理解为“未来只和现在有关, 与过去无关”, 或叫做无记忆性.

例如上题中“甲投篮”和“乙投篮”即为试验的两个状态, 且两个状态间的转移概率只与当时的状态相关. 正是具备了这种无记忆性, 我们才可以利用 Markov 链模型解决此类概率问题.

一般解题过程为:

1. 确认题目具有无记忆性和转移概率恒定,
2. 写出试验的全部状态及状态间的转移概率,
3. 写出概率转移矩阵并利用矩阵幂求解.

以下为例解.

设“甲投篮”和“乙投篮”两个状态分别为 $M$, $N$, 初始状态概率 $P_0=\left[\matrix{0.5&0.5}\right]$. 那么状态 $M$ 变化为状态 $M$ 的一步转移概率 $P_{M\to M}=0.6$, $P_{M\to N}=0.4$, $P_{N\to M}=0.2$, $P_{N\to N}=0.8$.

从而写出一步转移概率矩阵 $P_1=\left[\matrix{0.6&0.4\\0.2&0.8}\right]$, 由此可以得到经过 $k$ 次转移之后的概率矩阵

$$P_k=P_1^k=\left[\matrix{\frac{2}{3}\times(\frac{2}{5})^k+\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\times(\frac{2}{5})^k+\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\times(\frac{2}{5})^k+\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\times(\frac{2}{5})^k+\frac{2}{3}}\right]$$

第 $i$ 次投篮的人是甲的概率即为初始状态经过 $i-1$ 次转移之后状态为 $M$ 的概率

$$(P_0P_{i-1})\left[\matrix{1\\0}\right]=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times(\frac{2}{5})^{i-1}$$

另附, 记$\alpha=a-1,\beta=b-1$,

$$\left[\matrix{a&-\alpha\\-\beta&b}\right]^k=\frac{1}{\alpha+\beta}\left[\matrix{\beta+\alpha(\alpha+\beta+1)^k&\alpha-\alpha(\alpha+\beta+1)^k\\\beta-\beta(\alpha+\beta+1)^k&\alpha+\beta(\alpha+\beta+1)^k}\right]$$

矩阵曾被包含在人教版选修 4-2 《矩阵与变换》中. 尽管矩阵计算相关内容现已不包含在高中所需掌握知识范畴内, 但很容易作为新定义题型进行综合考察, 应该谨慎新高考改革背景下增加概率统计难度所带来的附加效应.