从一例抽球问题看抽签原理

本文主要从抽球问题的例题入手, 引入了抽签原理这一概率论模型, 并完成了简要证明.

原题

(校友供题) 现在有 $k$ 个袋子, 每个袋子均分别装有 $k$ 个红球和 $(n-k)$ 个白球. 若随机取 $1$ 个袋子, 再从取到的袋子中连续不放回地随机取 $3$ 个球, 已知第 $3$ 次取到白球的概率为 $\frac{7}{16}$, 求 $n$ 的值.

解析

记第 $3$ 次取到白球的事件为 $W$. 其中, 当抽中第 $k$ 个袋子时, 第 $3$ 次取到白球的事件为 $W_k$. 由全概率公式, 存在关系

$$P(W)=\sum_{i=1}^{n}{(\frac{1}{k}\cdot P(W_i))}$$

下面计算 $P(W_i)$.

设连续取出的 $2$ 个球中有 $X$ 个白球, 则离散型随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2$, 且 $X\sim H(2,n-k,n)$.

那么

$$P(X=r)=\frac{\binom{n-k}{r}\binom{k}{2-r}}{\binom{n}{2}},r\in\{0,1,2\}$$

从而

$$P(W_i)=\sum_{j=0}^{2}{\left(P(X=j)\cdot\frac{n-k-j}{n-2}\right)}=\frac{n-k}{n}$$

所以

$$P(W)=\sum_{i=1}^{n}{(\frac{1}{k}\cdot\frac{n-k}{n})}=1-\frac{n^2+n}{2n^2}$$

即 $1-\frac{n^2+n}{2n^2}=\frac{7}{16}$, 解得 $n=8$.

延申

从上述解答中 $P(W_i)=\frac{n-k}{n}$ 一步, 我们可以发现此处事件“第 $3$ 次取到白球”发生的概率与事件“第 $1$ 次取到白球”发生的概率相等.

接下来证明: 从一个装有 $k$ 个红球和 $(n-k)$ 个白球的袋子中连续不放回地随机取 $m$ 个球, $0<m\leq k$, 那么第 $m$ 次取到红球的概率与第 $1$ 次取到红球的概率相等.

定义记号 $\mathbb{N^*_\mathnormal{\leq k}}=\left\{i\in\mathbb{N^*}|i\leq k\right\}$. 将所有小球按先红后白的顺序连续编号, 由于有放回地摸一次球的试验的样本空间 $\Omega_0=\left\{\omega_i|i\in\mathbb{N^*_\mathnormal{\leq n}}\right\}$, 其中 $\omega_i$ 表示摸出了第 $i$ 号球, 那么待证试验的样本空间

$$\Omega_m=\left\{(\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_m)\in\Omega_0^m|\forall i\neq j\in\mathbb{N^*_\mathnormal{\leq m}},\varphi_i\neq\varphi_j\right\}$$

$A\in\Omega_m$ 若满足第 $m$ 次抽到红球,即

$$A\cdot\left(\matrix{0\\\cdots\\0\\1}\right)\in\left\{\omega_i|i\in\mathbb{N^*_\mathnormal{\leq k}}\right\}$$

则由于所有小球是完全相等的, 可以考虑对称性. 由此有

$$P(A)=\frac{\lvert\mathbb{N^*_\mathnormal{\leq k}}\rvert}{\lvert\mathbb{N^*_\mathnormal{\leq n}}\rvert}=\frac{k}{n}$$

$B\in\Omega_0$ 若满足第 $1$ 次抽到红球, 根据古典概型可得

$$P(B)=\frac{\lvert\mathbb{N^*_\mathnormal{\leq k}}\rvert}{\lvert\mathbb{N^*_\mathnormal{\leq n}}\rvert}=\frac{k}{n}=P(A)$$

即命题得证. 此命题也被称为抽签原理.