本文主要就 2023 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标 I 卷)数学第 21 题中涉及到的概率论中 Markov 链相关知识展开讨论, 剖析相似题型的统一解题路径.
原题
甲, 乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 $0.6$, 乙每次投篮的命中率均为 $0.8$, 由抽签决定第 $1$ 次投篮的人选, 第 $1$ 次投篮的人是甲, 乙的概率各为 $0.5$.
(1) 求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率;
(2) 求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率;
(3) 已知: 若随机变量 $X_i$ 服从两点分布, 且 $P(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i$,$i=1,2,\cdots,n$, 则 $E(\sum_{i=1}^n{X_i})=\sum_{i=1}^n{q_i}$. 记前 $n$ 次(即从第 $1$ 次到第 $n$ 次投篮)中甲投篮的次数为 $Y$, 求 $E(Y)$.
答案
(1)$0.6$;(2)$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times(\frac{2}{5})^{i-1},i\in\mathbb{N^*}$;(3)$\frac{6n+5}{18}-\frac{1}{9}\times(\frac{2}{5})^{n-1}$.
解析
第 (1) 问
第 (1) 问较为简单, 主要考察全概率公式.
令甲投中的事件为 $A$, 乙投中的事件为 $B$, 甲第 $i$ 次投篮的事件为 $M_i$. 那么甲没投中的事件即为 $\overline{A}$, 乙没投中的事件即为 $\overline{B}$, 乙第 $i$ 次投篮的事件为 $\overline{M_i}$.
由题可知, $P(A)=0.6$, $P(\overline{A})=0.4$, $P(B)=0.8$, $P(\overline{B})=0.2$, $P(M_1)=P(\overline{M_1})=0.5$.
因此 $P(\overline{M_2})=P(M_1)P(\overline{A})+P(\overline{M_1})P(B)=0.6$.
第 (2) 问
第 (2) 问本质上是概率论中涉及到的 Markov 链的考察, 解决此类题目的关键是只专注于可能使
将 $P(M_i)$ 简记为 $P_i$, 我们可以得到:
- $P_1=0.5$,
- $P_i=P_{i-1}P(A)+(1-P_{i-1})P(\overline{B}),i\geq2,i\in\mathbb{N^*}$.
列出后式的意义是, 若第 $i$ 次是投篮的人是甲, 则要么第 $(i-1)$ 次投篮的人是甲且甲投中, 要么第 $(i-1)$ 次投篮的人是乙且乙没投中. 随后根据全概率公式列出递推公式.
由数列相关知识, 可以求得 $P_i=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times(\frac{2}{5})^{i-1},i\geq2,i\in\mathbb{N^*}$. 代入 $i=1$ 时 $P_1$ 也符合此公式, 故第 $i$ 次投篮的人是甲的概率 $P_i=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times(\frac{2}{5})^{i-1},i\in\mathbb{N^*}$.
综上所述, 在梳理题目条件时, 我们更需要关注并找出项与项之间存在的递推关系, 从而运用高中课纲内的数列求和等知识解题.
第 (3) 问
第 (3) 问是新概念的化用, 主要考察 $E(Y)=\sum_{i=1}^n{P_i}$, 随后由数列相关知识化简得 $E(Y)=\frac{6n+5}{18}-\frac{1}{9}\times(\frac{2}{5})^{n-1}$.
只需要使用最基础的等比数列求和即可, 难度适中.
拓展
Markov 链可以用来研究试验在不同状态间变化时的某些概率,其特征可以简单理解为
例如上题中
一般解题过程为:
- 确认题目具有无记忆性和转移概率恒定,
- 写出试验的全部状态及状态间的转移概率,
- 写出概率转移矩阵并利用矩阵幂求解.
以下为例解.
设
从而写出一步转移概率矩阵 $P_1=\left[\matrix{0.6&0.4\\0.2&0.8}\right]$, 由此可以得到经过 $k$ 次转移之后的概率矩阵
第 $i$ 次投篮的人是甲的概率即为初始状态经过 $i-1$ 次转移之后状态为 $M$ 的概率
另附, 记$\alpha=a-1,\beta=b-1$,
矩阵曾被包含在人教版选修 4-2